การแก้อสมการ
บทนิยาม อสมการ คือ ประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวน โดยมีสัญลักษณ์ < , > , ≤ , ≥ หรือ ≠ แสดงความสัมพันธ์
สัญลักษณ์แทนความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสองจำนวน ได้แก่
< แทนความความสัมพันธ์ น้อยกว่า
> แทนความความสัมพันธ์ มากกว่า
≥ แทนความความสัมพันธ์ มากกว่าหรือเท่ากับ
≤ แทนความความสัมพันธ์ น้อยกว่าหรือเท่ากับ
= แทนความความสัมพันธ์ เท่ากับ
≠ แทนความความสัมพันธ์ ไม่เท่ากับ
ในทางคณิตศาสตร์ อสมการ เป็นประพจน์ที่เปรียบเทียบค่าระหว่างจำนวนจริงสองจำนวน
ประพจน์ a < b มีความหมายว่า a มีค่าน้อยกว่า b หรือไม่ถึง b
ประพจน์ a > b มีความหมายว่า a มีค่ามากกว่า b หรือเกิน b
ประพจน์ a ≤ b มีความหมายว่า a มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ b หรือไม่เกิน
ประพจน์ a ≥ b มีความหมายว่า a มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ b หรือไม่น้อยกว่า
ตัวอย่าง แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนในข้อต่อไปนี้
7 > 3 แทนความสัมพันธ์ หก มากกว่า สาม
– 5 < 5 แทนความสัมพันธ์ ลบห้า น้อยกว่า ห้า
-15 > -25 แทนความสัมพันธ์ ลบสิบห้า มากกว่า ลบยี่สิบห้า
ตัวอย่าง แสดงอสมการที่มีตัวแปรและไม่มีตัวแปร
7 + 3 < 12 เป็นอสมการที่ไม่มีตัวแปร
3 + 5 ≠ 5 เป็นอสมการที่ไม่มีตัวแปร
3 + 1 < 9 เป็นอสมการที่มี x เป็นตัวแปร
4 – 5 ≥ 18 เป็นอสมการที่มี x เป็นตัวแปร
3y – z ≤ 10 เป็นอสมการที่มีสองตัวแปรคือ y และ z
4y – 5 > 2y + 3 เป็นอสมการที่มีตัวแปรเดียวคือ y
ในการแก้อสมการนั้น มีหลักในการแก้อสมการโดยใช้คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ดังต่อไปนี้ ได้แก่
- คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน
- คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน
- คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก
- คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ
การแก้อสมการ คือ การหาเซตคำตอบของสมการ ที่จะทำให้สมการเป็นจริงได้ ซึ่งเซตคำตอบของสมการอาจพิจารณาจากเซตของจำนวน ซึ่งอาจดูได้จากการใช้ช่วยมาตรวจสอบข้อมูล เซตคำตอบของสมการใน X ซึ่งมีความหมายถึง เซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง โดยที่จำนวนเหล่านี้เมื่อนำมาแทน x แล้ว ทำให้สมการเป็นจริง
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
พิจารณาข้อมูลตัวอย่างต่อไปนี้
1.ผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 7 มากกว่า 3 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ x + 7 > 3
2.ผลบวกของสองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 7 ไม่น้อยกว่า 14 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ 2x + 7 ≥ 14
3.ผลต่างของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 30 ไม่เท่ากับ 40 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ x – 30 ≥ 40
4.สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง มากกว่า 20 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ 3x > 20
5.ผลบวกของหกเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 10 น้อยกว่า 800 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ 6x + 10 < 800
เมื่อเรานำคำตอบของอสมการเหล่านี้ไปพล็อตเป็นกราฟ กราฟที่ได้จะแสดงเป็นเส้นตรง เรียกว่า อสมการเชิงเส้น หากมีตัวแปรเพียงตัวเดียว จะเรียกว่า อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่าง การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
- จงแก้อสมการ x + 10 > 26
พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ x + 10 > 26
x + 10 – 10 > 26 – 10 (ใช้คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน)
จะได้ว่า x > 16
ดังนั้น ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่ x > 16
- จงแก้อสมการ x – 10 < 60
พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ x – 10 < 60
x – 10 + 10 < 60 + 10 (ใช้คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน)
จะได้ว่า x < 70
ดังนั้น ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่ x < 70
- จงแก้อสมการ x/3 > 60
พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ x/3 > 60
(x/3) (3) > 60 (3) (ใช้คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน)
3x / 3 > 180
จะได้ว่า x > 180
ดังนั้น ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่ x > 180
- จงแก้อสมการ 3(x – 5) ≥ 60
พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ 3(x – 5) ≥ 60 (คูณ 3 เข้าไปในวงเล็บ)
3x – 15 ≥ 60
จะได้ว่า 3x – 15 + 15 ≥ 60 + 15 (ใช้คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน)
จะได้ว่า 3x ≥ 75
จะได้ว่า 3x / 3 ≥ 75 / 3 (ใช้คุณสมบัติการหารด้วยจำนวนเท่ากัน)
จะได้ว่า x ≥ 25
ดังนั้น ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่ x ≥ 25
- จงแก้อสมการ x/4 + 2 ≠ 3
พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ x/4 + 2 ≠ 3
จะได้ว่า x/4 + 2 – 2 ≠ 3 – 2 (ใช้คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน)
x/4 ≠ 1
จะได้ว่า (x/4)4 ≠ 1(4) (ใช้คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน)
จะได้ว่า x ≠ 4
ดังนั้น ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่ x ≠ 4