ฟังก์ชันกำลังสอง   (Quadratic function)

            ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป    y   =   ax² + bx + c   เมื่อ  a, b, c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ  และ  a ¹ 0   ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง  เรียกว่า  พาราโบลา

1)     y  =  2x² + 3x – 10     เมื่อ   a = 2 ,  b = 3   และ  c = -1

                                2)     y  =   x² + 1                เมื่อ   a = 1 ,  b = 0   และ  c =  1

                                3)     y  =  -x² + 2x + 1       เมื่อ   a = -1 ,  b = 2   และ  c = 1

                1)   กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0

                         กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง   มีชื่อเรียกว่า  พาราโบลา  ซึ่งลักษณะของกราฟของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c   และเมื่อ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ  และกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0       เมื่อ  a  > 0   และชนิดคว่ำ   เมื่อ   a < 0    

                สรุป                ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0

                                !  เมื่อ   a > 0  ได้พาราโบลาหงาย  จุดต่ำสุดอยู่ที่  (0, 0)

                                          เมื่อ   a < 0   ได้พาราโบลาคว่ำ   จุดสูงสุดอยู่ที่  (0, 0)

                                !  แกนสมมาตรคือ  แกน  Y   หรือเส้นตรง   X  =  0 , 

                                          สมการแกนสมมาตรคือ  X  =  0

                                !  เมื่อ   a > 0   ค่าต่ำสุดคือ  0  และ  เมื่อ  a < 0   ค่าสูงสุดคือ  0

                                !  | a |  ยิ่งมากกราฟยิ่งแคบ

                2)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + k   เมื่อ  a ¹ 0  และ k ¹ 0 

                         กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + k   เมื่อ  a ¹ 0  และ k ¹ 0  จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด  อยู่ที่  (0, k)  และแกนสมมาตรคือ  แกน  Y

                สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   ax² + k

                        ! ถ้า  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (0, k)  ค่าต่ำสุด  =  k

                                ถ้า  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (0, k)   ค่าสูงสุด  =  k

                        ! แกนสมมาตรคือ  แกน  y  หรือเส้นตรง  x  =  0   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  0

                        ! ถ้า   k > 0   จุดวกกลับอยู่เหนือแกน  X

                                ถ้า   k < 0   จุดวกกลับอยู่ใต้แกน  X

                        ! ถ้า  a, k  มีเครื่องหมายเหมือนกัน  กราฟไม่ตัดแกน  X

                                ถ้า  a, k  มีเครื่องหมายต่างกัน  กราฟจะตัดแกน  X

3.    กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ h > 0 

                      3.1)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²    เมื่อ  a ¹ 0  และ  h  ¹ 0   จะเป็นกราฟ

พาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0) และแกนสมมาตรคือเส้นตรง  x = h

                     3.2)  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ  h < 0 

                                ถ้า  h < 0   จะได้สมการใหม่เป็น     y        =    a(x – (-h))²

                                                                                                  =    a(x + h)²

                สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²

                        !   ถ้า  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0)  ค่าต่ำสุด  =  0

                                 ถ้า  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (h, 0)   ค่าสูงสุด  =  0

                        !   แกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  h

                        !   h > 0   แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายของแกน  Y

                                 h < 0   แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน  Y

4.    กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ  y  =  a(x – h)² + k  เมื่อ  a ¹ 0 ,  h ¹ 0 
                       และ  k ¹ 0   จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  และมีแกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h

                สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)² + k

                        !  เมื่อ  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  ค่าต่ำสุด  =  k

                                 เมื่อ  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (h, k)   ค่าสูงสุด  =  k

                        !   ถ้า   k > 0   จุดวกกลับอยู่เหนือแกน  X

                                 ถ้า   k < 0   จุดวกกลับอยู่ใต้แกน  X

                        !   แกนสมมาตร  คือ  เส้นตรง  x  =  h   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  h

                        !   ถ้า  h > 0   แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายมือของแกน  Y

                                 ถ้า  h < 0   แกนสมมาตรอยู่ทางขวามือของแกน  Y

                        !   ถ้า  a  และ  k  มีเครื่องหมายเหมือนกันกราฟไม่ตัดแกน  X

                                 ถ้า  a  และ  k  มีเครื่องหมายต่างกันกราฟตัดแกน  X

5.            กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + bx + c   เมื่อ               a ¹ 0   การเขียนกราฟควรจัดสมการให้อยู่ในรูป   

y   =   a(x – h)² + k   จะทำให้เขียนกราฟได้ง่ายขึ้น 

                จากสมการ    y   =   ax² + bx + c    สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป    y   =   a(x – h)² + k   ได้โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์  

          ตัวอย่าง    จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน     y   =   2x² + 4x – 16     

               วิธีทำ     จาก             y      =     2x² + 4x – 16

                                                        =     2(x² + 2x – 8)

                                                        =     2{(x² + 2x + 1) – 8 – 1}

                                                        =     2{(x + 1)² – 9}  

                                                        =     2(x + 1)² – 18

                                จะได้      h      =     -1  ,    k    =    -18

                                    จุดวกกลับคือ   (-1, -18)

ที่ีมา : https://www.sites.google.com/site/buengbang20/mathematics/fangkchan/fangkchan-kalang-sxng?tmpl=%2Fsystem%2Fapp%2Ftemplates%2Fprint%2F&showPri